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【叁】 金融学二十五讲 读书笔记 利率及债券价值分析

第 3 讲 利率及债券价值分析

3.1 真实世界中的利率

广义地讲，任何资产的回报率都可以叫作这种资产给出的利率。但利率这个词一般特指债务合约（如债券、银行存款等）给出的回报率。

有两个相互联系但又容易混淆的概念：利息（interest）是借款人（borrower）向出借人（lender）支付的回报。而利息与本金（principle）之间的比值就是利息率，简称利率（interest rate）。所以简单来说，利息是一笔钱，而利率是一个比值。

现实中的利率有很多种，这些利率相互联系，但又不尽相同。

我国的几种代表性利率

在我国，存贷款基准利率一直由中国人民银行制定。随着我国利率市场化改革的推进，商业银行在制定存贷款利率方面有了更大的自由度。目前，我国商业银行存贷款利率理论上自由浮动，但央行现在仍然对商业银行施加一些行政性调控（即所谓的“窗口指导"）。

在银行间市场，包括银行在内的金融机构相互拆借资金，调节各自头寸的余缺。在中国的银行间市场，机构间短期资金的拆借主要通过回购（repo）业务来完成。银行间市场的隔夜（1 天）和 7 天回购利率是衡量我国金融市场短期资金松紧程度的关键指标。

我国银行间市场长期利率的基准是 10 年期国债收益率。由于我国政府拥有发钞权力，国债收益率完全不包含违约风险，可被视为无风险利率。除了在风险度上占优势之外，投资者从我国国债上得到的利息收入还免税，所以在同一期限的债券收益率中，国债收益率一定是最低的。

除国债和准国债（比如我国政策性银行发行的债券）外，市场中的其他债券都包含一定信用风险（无法偿付本金和利息的风险）。这些债券收益率与无风险利率之间的差异就是信用利差（credit spread），也可被广义地叫作风险溢价（risk premium）。市场中有专门的评级机构（rating agency）基于债券本身及发债主体的状况来做信用评级（credit rating）。

3.2 计息习惯

3.2.1 单利

单利（simple interest），是指利息不计入本金，即利息不会产生利息。在单利下，如果把初始本金 $A$ 存 $n$ 年，且每年的利率都是 $r$，最后能得到的金额为

$$A\left(1+nr\right)$$

3.2.2 复利

复利（compound interest）中，产生的利息收人会被计入本金，也产生利息。在复利的情况下，一定的利率能产生多少利息收人就要取决于复利次数了。假设把初始本金 $A$ 存 $n$ 年，每年的利率都是 $r$。如果每年复利 $m$ 次，那么最后得到的金额为

$A\left(1+\frac rm\right)^{mn}$

有一种特殊的复利叫作连续复利（continuous compounding），即每年计复利的频率无限大。这样，$n$ 年后得到的金额为

$A\mathrm{e}^{mr}$

3.2.3 “72 法则”

“72 法则” 是用于计算利率的经验法则，它说的是，在每年复利一次的情况下，如果需要知道多少年可以把本金翻番，只需要用 72 除以年利率与 100 的乘积，得到的商即是所求年数。相应地，还有 “69 法则” “70 法则”。

3.3 金融决策

3.3.1 现值与贴现

我们用 $FV$ 表示未来值（future value，又叫终值），用 $PV$ 表示现值（present value），在每年复利一次的情况下有

$\begin{aligned}FV=&PV(1+r)^n\\PV=&\frac{FV}{(1+r)^n}\end{aligned}$

上式非常清楚地表明了，同样数额的资金在不同的时点，其价值是不一样的。不同时点的资金价值由利率联系起来，所以，利率又被叫作资金的时间价值（time value ofmoney）。用利率来计算未来一笔资金在当前的价值，就叫作贴现（discount）。而用来将未来的资金折算为现值的利率就叫作贴现率（discount rate）。

3.3.2 净现值法则

一项金融投资必然会在不同的时点带来或正或负的现金流。要看一项投资是否值得投资，正确的方法是把不同时点的现金流全部贴现到现在，然后计算所有现金流的净现值（net present value，简写为 NPV）。净现值衡量投资者财富因为参与投资项目而发生的变化。金融决策的净现值法则：净现值为正的项目是值得投资的。

如果 3 年间的年利率都为 $10%$（每年复利一次）那么这个项目的净现值为

$NPV=-100+\frac{30}{1+10\%}+\frac{60}{(1+10\%)^2}+\frac{40}{(1+10\%)^3}=6.9(\text{元})$

项目现金流图示

3.3.3 内部收益率法则

内部收益率（internal rate of return，简称 IRR）是使项目净现值 NPV 恰好为 0 的利率。内部收益率是对项目现金流状况的一个描述指标，与市场利率无关。金融决策的内部收益率法则：如果项目内部收益率高于资金成本，则项目值得投资。在评价单个投资项目时，内部收益率法则与净现值法则是等价的。

$100=\frac{30}{1+IRR}+\frac{60}{(1+IRR)^2}+\frac{40}{(1+IRR)^3}$

3.3.4 再投资风险

在计算内部收益率时，有几个潜在的假设。它要求投资者持有投资项目至到期，项目也不存在违约风险。另外，还有一点非常关键的假设：再投资的收益率与项目收益率一致。

对产业投资来说，再投资风险（reinvestment risk）一般可以忽略，企业产生的现金流再投入这个企业中一般是可行的。但对债券投资来说，再投资风险就不可忽略。

3.4 债券价值分析初步

3.4.1 到期收益率

由于债券也可看成一项投资——现在支付价格以换取未来利息和本金的支付——所以在给定债券当前价格及未来本息支付后，每只债券都有一个内部收益率。在债券投资中，债券的内部收益率有一个特殊的名字，叫作债券的到期收益率（yield to maturity）。它是假定投资者持有债券直到债券到期所获得的收益率（忽略再投资风险）。

附息国债会按照债券标定支付票息（coupon），票息与债券面值之比为票息率（coupon rate），但这个票息率不是债券的收益率。我们常说的债券收益率是债券的到期收益率。

已知债券信息

3.4.2 即期利率

债券的到期收益率不是用来做净现值计算的恰当贴现利率。恰当的贴现利率是即期利率（spot rate）。即期利率又被称为零息利率（zero rate）。即期利率，是在现在投入资金，直到最后一天才获得现金支付（期间没有现金支付）的情况下所得到的收益率。零息债券（zero coupon bond）的收益率就是即期利率。

零息债券是仅在到期日支付面值，期间不支付任何利息的债券。零息债券的期限一般不超过 1 年。零息债券在发行时都是折价发行的，即价格低于其面值，折价部分就隐含了债券带来的收益率。但在现实世界中，超过 1 年期的国债都是附息债券。不过我们可以从现实世界的债券价格中计算出各期限的即期利率，一种常用的方法是票息剥离法（bootstrap method）。

$\begin{aligned}97=&\frac5{1+r_{1}} + \frac { 105 }{ ( 1 + r _ 2 ) ^ 2}\end{aligned}$

如果市场上还有期限更长的国债，可以用类似方法递推得到各个期限的即期利率。有了各期限的即期利率，就能够给任何确定现金流定价。

将不同期限的即期利率画在一张图上，就是即期利率曲线。类似地，还可以把不同期限国债的到期收益率也画在一张图上，这就形成了国债的到期收益率曲线，简称为收益率曲线（yield curve）。

3.4.3 远期利率

不同期限的即期利率为什么不一样？原因在于市场预期现在和 1 年后的 1 年期即期利率不一样。远期利率（forward interest rate）代表了市场对未来即期利率的预期。

在这里，市场预期 1 年期即期利率在 1 年后会大幅上升。如果有投资者不认同市场的看法，相信 1 年后的 1 年期即期利率不会大幅上升，那么他可以通过做收益率赌博（yield curveplay）来获利。具体来说，他可以借短买长，连续 2 年以 1 年期即期利率借人的资金来购买 2 年期债券（假设每一年市场上都存在 1 年期零息债券可供买卖）。

3.4.4 久期

债券的久期（duration）就是债券投资者为收到债券所提供的所有现金流平均要等待的时间。显然，一个 $n$ 年到期的零息债券的久期就是 $n$ 年。

假设债券在第 $n$ 年到期，在到期之前，会在 $t_i$ 时刻给债券持有人提供现金流 $c_i\quad(1\leqslant i\leqslant n)$。为了简化，这里假设用连续复利计息。债券当前价格 $P$ 与债券到期收益率 $y$ 之间有如下关系，

$P=\sum_{i=1}^nc_i\operatorname{e}^{-yt_i}$

债券的久期（$D$）就是以每时刻现金流的现值与当前价格之比为权重，计算的债券在各个现金流支付时刻的加权平均如下所示，

$\begin{aligned}\sum_{i=1}^nt_ic_i\operatorname{e}^{-yt_i}&=\sum_{i=1}^nt_i\left[\frac{c_i\operatorname{e}^{-yt_i}}P\right]\end{aligned}$

我们来看看债券到期收益率 $y$ 的一个微小变化会对债券价格造成什么影响。对上式做全微分，并将久期的公式代入，整理后将微分符号 $d$ 换成 $Δ$ 可得

$\frac{\Delta P}P=-D\cdot\Delta y$

上式说明，债券到期收益率的变化幅度乘以债券的久期，就是债券价格变化的比率。

可以证明，当到期收益率为 $y$ 的债券一年复利 $m$ 次的时候，上式可近似为

$$\frac{\Delta P}P=-\frac D{1+\frac ym}\cdot\Delta y$$

可以定义 $D^*$ 为修正久期（modified duration），如下所示，

$D^*\triangleq\frac D{1+\frac ym}$

严格地说，可用久期来估计利率的微小变化对债券价格的影响。如果利率变化的幅度较大，那就需要用到二阶甚至更高阶近似了。债券的曲率（convexity）就是用来做二阶近似的。

对债券组合也能计算久期。债券组合的久期决定了组合价值对利率变化的敏感性。投资者可以通过组合配置的调整来人为改变组合久期，从而实现自己的投资目的。

债券市场中有一种常见的投资策略叫作久期策略，该策略是基于对未来利率走势的预测来主动调整债券组合的久期。具体来说，如果投资者预期利率水平会上升，则会缩短自己债券组合的久期（卖出长期债券）以减少组合价值下跌的幅度。

我们可以主动调整久期来赌利率的方向，也可以调整久期来尽可能消除利率变化对组合的影响。银行、保险这类金融机构的资产和负债中都会有大量债券，它们可以通过匹配自己资产组合和负债组合的久期（让资产和负债的久期相等）来消除利率变化带给自己的风险。

3.4.5 债券价值分析小结

我们的第一个任务是给出一个较好衡量债券价格的指标。债券的内部收益率，即债券的到期收益率，则是一个在不同债券间可比的指标。

我们的第二个任务是找出给新债券定价的方法。只有包含两个时点的即期利率才是合理的贴现率，而超过 1 年的即期利率无法直接从债券价格中得到，这需要我们来构造。票息剥离法做的就是这个事情。有了各期限的即期利率，我们就能给各种债券定价。

我们的第三个任务是从债券价格信息中萃取市场对未来利率走势的预期。这就要用到远期利率了。

在完成了这三个任务之后，我们还讨论了债券投资中常用的概念期简单介绍了债券投资的一些策略——久期，并结合久期简单介绍了债券投资的一些策略。